

$\vec{a} = \sum_{i=1}^{3} a_{z_k}\vec{i_k} = \{a_{z_k}\vec{i_k}\}_k$

#### Скалярное произведение векторов

$(\vec{a},\vec{b}) = (\{a_{z_k}\vec{i_k}\}_k,\{b_{z_k}\vec{i_k}\}_k) $
$\downdownarrows (\vec{i_k},\vec{i_k}) \equiv 1 $
$(\vec{a},\vec{b}) = \{a_{z_k}b_{z_k}(\vec{i_k},\vec{i_k})\}_k$
$\downdownarrows$
$(\vec{a},\vec{b}) = \{a_{z_k}b_{z_k}\}_k$

#### Векторное произведение векторов

$[\vec{a}\times\vec{b}] = \begin{pmatrix}
\vec{i_1} & \vec{i_2} & \vec{i_3} \\
a_z & a_y & a_x \\
b_z & b_y & b_x \\
\end{pmatrix}$

$[\vec{a}\times\vec{b}] =\vec{i_1}\begin{pmatrix}
 a_y & a_x \\
b_y & b_x \\
\end{pmatrix} - \vec{i_2}\begin{pmatrix}
 a_z & a_x \\
b_z & b_x \\
\end{pmatrix} + \vec{i_3}\begin{pmatrix}
 a_z & a_y \\
b_z & b_y \\
\end{pmatrix}$

# Stregth_of_matherials

### Дифгеометрия стержня

![1](../../img/fed/1.png)

Метод сечений основан на следующем принципе: если кон­струкция под действием внешних сил нахопится в равновесии, то и любая ее часть находится. в равновесии.

![3](../../img/fed/3.png)


$Q + P = 0$ $(B1)$

$M + \mathfrak{M} = 0$ $(B2)$

(ff20)
![4](../../img/fed/4.png)

Глобальная СК $x$, $y$, $z$
Локальная СК $x^{\prime}$, $y^{\prime}$ $z^{\prime}$

$Q=Q_{z{\prime}}e_1 + Q_{y{\prime}}e_2 + Q_{x{\prime}}e_3$ $(B3)$
$M=M_{z{\prime}}e_1 + M_{y{\prime}}e_2 + M_{x{\prime}}e_3$ $(B4)$

$Q_{z{\prime}} = N$ осевая сила направленная по касательной осевой линии

$Q_{y{\prime}}, Q_{x{\prime}}$ - nеререзывающuе силы

$M_{z{\prime}} = M_k$ - крутящий момент

$M_{y{\prime}},  M_{x{\prime}}$ - uзгuбающие моменты


![5](../../img/fed/5.png)


$Q$ - вектор суммы внутренних сил по левому сечению
$q$ - распределенная сила вдоль стержня
$M$ - вектор суммы внутренних моментов сил по левому сечению
$(Q + dQ) - Q + qds = 0$ - относительно точки О сумма сил равна нулю
$\downdownarrows$
$\displaystyle{\frac{d\vec{Q}}{ds} + \vec{q} = 0} $ $(B5)$

$(M+dM)-M + {\mu}ds + ds [ e_1 \times (Q+dQ)]$ = 0 - относительно точки О сумма моментов сил равна нулю
$\downdownarrows$
$\displaystyle\frac{d\vec{M}}{ds} + \vec{\mu} + [ \vec{e_1} \times \vec{Q}] = 0$ $(B6)$

![6](../../img/fed/6.png)

Вектор $q$ в декартовых координатах

$z_1 = z$
$z_2 = y$
$z_3 = x$


$\vec{q} = \sum_{i=1}^{3} q_{z_k}\vec{i_k} = \{q_{z_k}\vec{i_k}\}_k$ $(B7)$

$\vec{M} = \{M_{z_k}\vec{i_k}\}_k$ $(B8.1)$
$\vec{Q} = \{Q_{z_k}\vec{i_k}\}_k$ $(B8.2)$

$(B5)$
$\downdownarrows$

$\displaystyle{\frac{d\vec{Q}}{ds} + \vec{q} = 0} $
$\downdownarrows (B8.1)$

$\displaystyle{\frac{d{\{Q_{z_k}\vec{i_k}\}_k}}{ds}} + \{q_{z_k}\vec{i_k}\}_k = 0$ 
$\downdownarrows \forall  z_k$

##### Система уравнений сил для всех k координат $\{_k |-q_{z_k} =  \displaystyle{\frac{dQ_{z_k}}{ds}}$ $(B9)$
$(B6)$
$\downdownarrows$
$\displaystyle\frac{d\vec{M}}{ds} + \vec{\mu} + [ \vec{e_1} \times \vec{Q}] = 0$ 
$\downdownarrows e_1 \thickapprox i_1 $ $that$ $z$

$[\vec{e_1}\times\vec{Q}] = \begin{pmatrix}
\vec{i_1} & \vec{i_2} & \vec{i_3} \\
1 & 0 & 0 \\
Q_z & Q_y & Q_x \\
\end{pmatrix} = - \vec{i_2} Q_x + \vec{i_3} Q_y $

$\downdownarrows k=1 $

##### Уравнение моментов по z : $\displaystyle\frac{dM_z}{dz} + \mu_z = 0  $ $(B11.1)$

$\downdownarrows k=2 $

##### Уравнение моментов по y : $\displaystyle\frac{dM_y}{dz} + \mu_y - Q_x = 0$ $(B11.2)$

$\downdownarrows k=3 $

##### Уравнение моментов по x : $\displaystyle\frac{dM_x}{dz} + \mu_x + Q_y = 0$ $(B11.3)$

### Напряжения

![8](../../img/fed/8.png)

##### Определение напряжения :  $\displaystyle\lim\limits_{\Delta F \to 0} \frac{\Delta\vec{ Q}}{\Delta F} = \vec{p}$

$\sigma = p_z$
$? \tau_y = p_y $
$? \tau_x = p_x$

### Перемещения и деформации

![9](../../img/fed/9.png)

![10](../../img/fed/10.png)

![13](../../img/fed/13.png)

##### Определение лнейной деформации : $\displaystyle\lim\limits_{s \to 0} \frac{\Delta \vec{s}}{s} = \vec{\varepsilon}_{AB}$ - линейная деформация

##### Определение напряжения угол сдвига в точке О в плоскости COD :  $\large\gamma_{COD} = \displaystyle\lim\limits_{OC \to 0 OD \to 0} (\widehat{COD} - \widehat{C^{\prime}O^{\prime}D^{\prime}})$ 

Деформационное состояние - $\gamma $ и $\varepsilon$ - 6 чисел

### Закон Гука и принцип независимости деиствия сил (ff30)

(ff30)
$u_A = \delta_x P $ $(B12)$
$P$ сила, $u_A$ - перемещение, $\delta_x$ - коэффициент пропорциональности между силой и перемещением

#### Принцип независимости действия сuл
$u_{A_1} = \delta_{x_1} P_1 $ от $P_1$
$u_{A_2} = \delta_{x_2} P_2 $ от $P_2$

$u_{A} = \delta_{x_1} P_1 + \delta_{x_2} P_2 $ от совместного действия $P_1$ $P_2$

#### Температурная деформация

$\sigma = E \varepsilon$

$\varepsilon=\frac{\sigma}{E}+\alpha \Delta t$

$\Delta l =\displaystyle \frac{Nl}{FE}+l\alpha \Delta t$

#### Энергия сжатия

$\Delta l =^{def} u =\displaystyle \frac{N(u)l}{FE} , N(\Delta l) = P$
$\displaystyle\downdownarrows N(u) = \frac{FE}{l} u , dA = N(u)du$

$A = \displaystyle\frac{FE}{l} \int udu = \frac{FE}{2l} u^2  $
$\displaystyle\downdownarrows \text{if u }= \Delta = \frac{Pl}{FE}$ 

$A(\Delta) = \displaystyle \frac{FE}{2l} (\frac{Pl}{FE})^2 = \frac{P^2l}{2FE}$

$dU = \int_0^l\frac{N(z)^2}{2FE}dz$